GPS RAIM 定位误差保护限值算法分析

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2011 年5 月
第35 卷第3 期
安徽大学学报(自然科学版)
Journal of Anhui University (Natural Science Edition)
May 2011
Vol. 35 No.3
GPS RAIM 定位误差保护限值算法分析
杨传森徐肖豪2 刘瑞华3 赵鸿盛4
(1.南京航空航天大学民航学院，江苏南京210016;2. 中国民航大学空管学院，河北天津300300;
3. 中国民航大学电子信息学院，河北天津300300;4. 北京航空航天大学电子信息学院，北京100191 )
摘要:针对基于最小二乘法的偏差完好性风险方法，采用总体最小二乘法估计准则，将数据矩阵
和观测值两者的误差综合考虑，使残差更精确，数据可靠性更高，提高了RAIM 算法的可靠性，并给出了
RAIM 解算模型.结合各个航段的完好性需求进行仿真，分析了不同飞行阶段的PIR 性能.结果验证了
PIR 是更合适的可用性分析方法.
关键词:总体最小二乘法;最小奇异值;偏差完好性风险
中图分类号228.4 文献标志码:A 文章编号:1000-2162(2011 )03-0076-06
Analysis of algorithms for GPS RAIM position integrity risk
YANG Chuan-sen1 , XU Xiao-hao2 , LIU Rui-hu矿， ZHAO Hong-sheng4
(1. College of Civil Aviation , Nanjing University of Aeronautics and Astronautics , Nanjing 210016 , China;
2. College of Air Traffic Management , Civil Aviation University of China , Tianjin 300300 , China;
3. College of Electronic InformatÏon Engineeri吨， Civil Aviation University of China , Tianjin 300300 , China;
4. School of Electronic Information Engineeri吨， Beihang University , Beijing 100191 , China)
Abstract: Based on the bias integrity threat approach , this paper proposed the total least squares as a
kind of data processing method in recent years. A comparable analysis was made on calculating the usual least
squ缸es and total least squares solution of an overdetermined system , which had dealed with uncertainties on
the perturbation matrix and the erroneous measurements in the transformation and back-substÏtution. The
objective of this research is to improve RAIM reliability and positioning accuracy , and the solution expressed
in closed form could be useful in the total least squ町es approach. According to the integrity requirements for
the corresponding f1ight phases , case study of simulation results in position integrity risk approach was
discussed and the performance of the least squares and the totalleast squares were analyzed. Simulation results
show that it is feasible and reliable for the position integrity risk based on total least squares.
Key words: the total least squares; minimum singular value; bias integrity threat
收稿日期:2011-01-15
基金项目:国家高科技技术研究发展计划基金资助项目( 863 计划: 2006AA12Z313)
作者简介:杨传森(1968一) ，男，安徽合肥人，南京航空航天大学博士研究生;徐肖豪(1949一) ，男，浙江金华人，中
国民航大学教授，博士，博士生导师;如l 瑞华( 1965 一) ，男，陕西蓝田人，中国民航大学教授，博士，硕士生导师;赵鸿盛
(1 982一) ，男，甘肃张掖人，北京航空航天大学博士生.
引文格式:杨传森，徐肖豪，如j 瑞华，等. GPS RAIM 定位误差保护限值算法分析[JJ .安徽大学学报:自然科学版，
2011 ,35(3) :76-81.
第3 期杨传森，等:GPS RAIM 定位误差保护限值算法分析77
完好性定义为导航系统因故障或超差导致不能用作导航系统时，系统应向用户及时发出告警的能
力.完好性监测提供可靠的完好性的保证，是对完好性的监测，包括系统级和用户端完好性监测.用户端
自主完好性监测技术( RAIM , Receiver Autonomous Integrity Monitoring) 在用户端通过接收冗余观测进
行检测、识别并排除故障RAIM 技术可以给用户提供完好性监测和快速报警的响应能力.RAIM 的优点
是，作为设置在航空GPS 接收机中的一种算法，对卫星故障反应迅速且完全自动，元需外界干预.各个
航段的完好性需求[1) 有着显著差异，直接关系到航空安全，它说明导航系统是否具有足够的错误检测
能力.由于伪距观测模型在RAIM 中起着数学平台的重要作用，精确的定位解对导航系统的完好性性能
有着直接的影响，可靠准确的伪距观测模型的研究一直是RAIM 的技术关键之一.
RAIM 不仅与卫星几何构型[2-3) 有关系，而且与测量噪声环境有关系.为了保证RAIM 的误警概率
和漏检概率需求，基于卫星几何构型与测量噪声的RAIM 可用性必须具有一定的质量保证.确定满足
RAIM 需求的卫星几何构型的通常方法是最大水平精度因子法、近似径向误差保护法及HPL 方法.因为
伪距观测模型线性化的最小二乘法( LS , the Least Squares) 算法[4-5) 没有考虑数据矩阵的扰动误差以及
不同观测噪声对观测模型的影响，使得待估参数的全部误差集中在观测量中，且由于量测值与实际噪声
无关，而仅与噪声标准差有关，所以说它们都是基于完全的几何分布计算来推算仅与卫星的几何构型有
关且根据检验统计量的分布给出相应的保护限值，使漏检率经常不能满足需求.由于噪声的处理相对简
单，而使得实际的定位误差可能会超过保护限值.
偏差完好性风险(BIT ， Bias Integrity Threat) [6) 是1996 年P. B. Ober 提出的，其核心是:系统完好性
不仅取决于卫星几何构型，而且还受到测量噪声环境影响. BIT 反映了定位误差的平方和与非中心x2 分
布参数的线性关系，满足航段完好性监测漏检率要求的最大不可检测定位偏差( MUPB , Maximum
Undetectable Position Bias) ，与航段的定位误差保护限值比较，得出可用性的判断.基于最小二乘法的
BIT 和MUPB 考虑了卫星几何构型以及不同测量噪声的影响，该方法更适合多星座、多故障环境的应
用.在伪距观测模型中，数据矩阵由站-星的方向余弦分量组成，是模型泰勒级数展开后的一次系数阵，
因此，应该考虑截断误差对解算结果的影响.为此，作者采用总体最小二乘法(TLS ， Total Least Squares)
估计准则，使得观测量的误差和数据矩阵的误差共同达到平方和最小.首先对常规的LS 法与TLS 法进
行比较讨论，然后利用参考文献[7 -9 ]中提出的求解的TLS 法，结合航段的RNP (Required Navigation
Perfo口nance) 定位误差告警限值，利用最大定位误差的完好性风险PIR (Position Integrity Risk) 进行分
析，籍此来判断不同航段RAIM 的可用性.
1 总体最小二乘法的基本原理
线性最小二乘问题( LS) 为:
11 H • x - b 11 2 = min 11 H • x - b 11 2 ,
其中: H = Uo I, oV~ 进行奇异值分解， Uo ε Rmxm 几εRM ，立。= diag(λl' …， λ4) ， λI 注λ2 主λ3 注λ4.
LS 问题的极小范数最小二乘解x[s 可以表示为:
凡=H*-b=ZLI(uf-b/σi) • Vi
、、』，，，
11
'''飞、
(2)
因为存在舍人误差[叫，所有关于H* 和xls 计算，实际上是计算扰动矩阵H=H+ .t1H 的广义逆H*
以及x[s = H* • b. 当H 和H 的秩不一致时，扰动t1H 越小， H* 和H ， 以及凡和x[s 可能相差会越大.
在文献[7-9 ]中， Juang 等学者深入地讨论了T臼求解问题及其RAIM 应用.当考虑数据矩阵与噪
声存在扰动时， TLS 的伪距观测模型为:
(H +.t1H)x = b + t1b. (3)
TLS 问题定义为:存在t1 b E Rm ,t1H E Rmx4 ， 使得min 11 (t1H ,t1b) 11 F' (b + t1b) E Range(H +
.t1H) ，t1H 是H 的扰动.将增广矩阵(H ， b)= U!，俨进行奇异值分解，其中: U = (U1 U5 ) , U1 εRmx4 ，
U5 εRM1 ， EITEI=Im ， 22=diag(σl' …， σ5) ， σl~σ2~σ3~σ4 >σ5' Vll ε R4 时， Vl5 E R4 时，飞lERIX4 ，
78 安徽大学学报(自然科学版) 第35 卷
V.. V.e
V55 E R1 , VTV = ι ，有V=(H 』J). 文献[11 ]给出方程(3) TLS 解集为:
V51 V55
xTLS = (HTH - (T;I4 )-IHTb, (4a)
xTLS = - V151V55 . (4b)
伪距残差向量R 、残差平方和SSE 为:
R = t1b - t1HxTLS =-σ5U/V55 ， (5)
SSE = RT
• R = 丙IV;5' (6)
(t1H t1b) =(-σ5 U5 V;5 σ5U5 VJ5) . (7)
由此可以推知，向量t1 b i 值不大于最小奇异值σ5 且成比例关系，有:
11 t1H 11 ~ + 11 t1b 11 2 = (T; , ( 8 )
XTLS = (14 - σ; (HTH) -1) -I Xls = (]4 -σ; (HTH- σ:ι) -1) 凡(9)
A元T凶= 11 X TLS - X ls 11 =σ; 11 (HTH - (T;14 ) -I Xls 11 运ô; 11 b 11λ4 -1 (λ:-δ;)-1 ， (10)
其中:们是矩阵三。的最小奇异值， σ5 是方程Hx= b 关于T臼与LS 方法解算的不相容程度，且当σ5 = 0 ,
LS 法可以看作是TLS 法的特例.
定义若Hεcm川7πηmzυx叫<4飞， b εC"旧F
|川1 (t1H ，t1ωb) 川11.. = ，~. ,J!.l:in , " 11 (t1H. t1 b) 11.. (11)
(H+Ml)x=b+tlb "
的矩阵M(X) = (t1H ，t1 b) 成为线性方程Hx = b 的最小F 范数修正矩阵.并定义[口
M(X) = (H ,b) ( 二) (XTX+ I) -I(XT , -1), (12)
11 M(XTLS ) - M(X川11 F :::三σ50/ (1 - c)) , (13)
其中: c =σ 51λ4. 如果(t1H .t1 b) 扰动量极小， TLS 和LS 问题的解集、残差以及最小F 范数修正矩阵都很
接近.比值σ 51λ4 实际上反映了原有问题的相容性程度.如果11 t1Ht1b 11 2 :::::;:::::; À4' TLS 和LS 具有相同
的求解精度， LS 是TLS 特例;如果11 t1Ht1b 11 2 臼λ4 ， TLS 解算精度则会好一些.
综上所述， LS 方法对噪声更敏感，其准确性更容易受到干扰的影响.相比LS 方法， TLS 方法更容易
受到数据矩阵的扰动影响，而噪声对TLS 方法的影响相对更小.因此，当数据矩阵与观测量都存在扰动
的情况下，由公式(1 0) 可以推知，参数町、λ4 、11 b 11 主要反映了LS 方法与TLS 方法关于方程Hx =b 求
解精度的差异性， TLS 方法能够给出高精度的数值解.
2 计算最大定位误差保护限值方法
系统在正常的情况下，伪距误差向量R 中的各个分量是相互独立的正态分布随机误差，期望为零，
方差为(T~( 为己知σ; 先验值，这里设定为12.5 m). 依据统计分布理论，有:
无故障假设Ho :E(μ) = 0 ，则:
SSEIσ;~X2(m-4). (14a)
有故障假设HJ: E( μ) ~ 0 ，则:
SSEIσ;~X2(m-4 ， λ). (14b)
对于给定的误警率PFA = Q( TIσ; ， m-4) ，求得门限阔值T ， 且Q = 1 - P(X2 I r) ， 有:
T= σ~Q-J(PFA ， m-4)'， (15)
σ r = 11 V55 11 T. (16)
当存在卫星故障时，检测统计量SSEI(T~ 应大于检测限值TI刊，若SSEI(T~ 小于TI刮，则为漏检.给
定漏检率PMD ， 应满足如下概率等式:
P，( SS叫<叫=fLU)(z)dz=PMD ， (17)
第3 期杨传森，等:GPS RAIM 定位误差保护限值算法分析79
no noise=刊OP = 11 .1xTLS 11 2/SSE. (1 8 )
假设没有噪声时， i DOP 可以精确地表达为定位偏差与残差平方和的比值.考虑到在引起精度下降最
快的方向，卫星出故障时，故障最难检测，最大定位误差的完好性风险比值(PIR)为:
PIR = max 11 .1xTLSω 11 2 /SSE; = max ( 11 b; 11λ;1 (λi-σ;) V55 ) 2. ( 19 )
通过(1 7) 式计算满足航段完好'性监测漏检率要求的最小非中心化参数λmlß ，计算最大不可检测定
位偏差为:
MUPB = 斤IR. 五百(20)
在实际工程中，进行故障检测算法和故障识别算法可用的前提，是在任意时间、任意地点，必须同时
满足RTCA 完好性规定的漏检率和虚警率.作者采用最大定位误差的完好性风险( PIR) 方法来判断
RAIM 算法是否可用.它满足了完好性需求，且反映了系统卫星几何的可用性，并给出完好性保证，得出
RAIM 算法的可用性.
3 仿真结果
3.1 定位精度仿真
为了验证TLS 算法的性能，利用中国武汉IGS 跟踪站2009 年一段RINEX 数据进行计算分析.先验
方差设为12.5 m ，采用7 星定位，误警率为0.00001 h- 1 • 作者将采用TLS 算法和LS 算法进行定位精度
比较，包括3 个方面:第一，故障对TLS 算法与LS 算法的定位解算的影响;第二， TLS 算法与LS 算法的
定位解精度的比较;第三，故障(包括微小扰动)对TLS 法的奇异值的影响.
当没有卫星故障和接收机故障时，最小奇异值的大小反映了数据矩阵和观测矢量与其之间的关
系，因此，这时最小奇异值的大小稳定在一个较小的误差范围内.图1 说明故障对TLS 与LS 解算的影响
变化，图2 说明TLS 方法和LS 方法定位误差解算精度的差异.增广矩阵的奇异值在受到干扰时会出现
跳跃的响应变化，图3a -e 子图说明了微小扰动对TLS 法增广矩阵的各个奇异值的影响.通过图3a - e
子图可以看出:增广矩阵的奇异值出现跳跃，说明干扰存在，如果SSE 超出给定的阔值T ， 判定必有故
障存在.图4 说明了增广矩阵的最小奇异值在受到故障干扰时的响应变化.在故障发生之前，最小奇异
值几乎趋于零的时候， TLS 和LS 两种方法区别不是很明显.
220 ,11 --+-XTLSI
200 H-- XLS I
180
160
8ii 140
4至120
起100
80
60
~~ r
20 l叫阳乒1飞吼叫抖~.:节时叫叶t:./ 忖~fr:!由::.，"':;~ι 主怕只γ"，;':1;':飞τ
o 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
历元
图1 故障对TLS 与LS 解算的影晌
Fig. 1 Comparisοn of the fault to the total least squares
and least squares methods in GPS pωiti阳ning
4
-d 。&
叫吼叫川
o 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
历元
图2 TLS 与LS 定位解算精度比较
Fig. 2 Comparison of total least squares and
least squares methods in GPS positioning
accuracy
80 安徽大学学报(自然科学版) 第35 卷
70 Iτ一1 3.4厅一I 1.35~气1
'^ 1 l' 1 可3.21 I I~:!:j 1 1
望山I 1 ~ 31 I I 在1.3 1 I 1
在到11 飞扩+刑~= 1251 I I
40.…-曲回2.6L一一:.-l L一-LJ o 50 100 0 50 100 0 50 100
历元历元历元
zj;二也
图3 扰动对TLS 法的奇异值的影晌
Fig. 3 Disturbance on singular values in the
total least squarωsolution
。.3 5
0.3
点0 .2 5
击。2
习4015
0.1
0.05
0 o 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
历元
圄4 故障对TLS 法的最小奇异值的影响
Fig. 4 Simulation results of the fault on singular
values in the total least squares solution
3.2 PIR 法计算仿真
PIR 值增大，可用性减小， PIR 值较小的卫星将被选中参加定位计算.此外，分析定位星组中每一颗
卫星对PIR 值的影响，能更好地解释某颗卫星发生故障时PIR 值的变化以及引起定位误差大小的影响.
采用7 星定位，采样时间从20 -40 min.
图5 显示的是在视卫星的PIR 分布.图5a 是在29 采
样点时刻的各个卫星的PIR 值分布图;图先是在30 采样
点时刻的各个卫星的PIR 值分布图;图5c 显示了在30 采
样点时刻之后，给卫星3 添加10m 偏差干扰的PIR 值分
布图，其中卫星3 的PIR 值最大.
表l 为不同采样时刻每颗卫星的PIR 值.采样点为
30 时， PIR 值从66.2 变为52.5 ，参加定位计算的卫星22
消失，卫星19 进人.由于采样间隔很短，其他6 颗星的位
置变化很小.采样点为29 时，卫星21 和22 的PIR 值很
大，而在采样点为30 时，它们的目R 值比卫星22 的小很
多，卫星22 的凹R 值最大，这说明卫星22 的退出，明显改
善了定位星座的几何位置关系. APV -1/11 阶段的7 颗卫
星定位下非中心化参数为58.52 ，采样时刻为31 ，给卫星
3 加人10m 的偏差扰动，在地理坐标系下得到相应的定
位误差，如表2 所示.分析表1 ，2 的数据可知，当故障偏差相近时，发生故障的卫星对PIR 值贡献越大，
产生的定位误差越大.每颗卫星的PIR 值随卫星的运动而变化，若在某一采样时刻PIR 值最大的那颗卫
星发生故障，将会给导航定位系统带来很大的定位误差，数据如表3 所示.结合表3 的数据，可以得到如
下结论:随着可视卫星个数的增加，卫星观测几何条件增强， RAIM 算法的可用性越高;当可视卫星个数
大于8 时，对卫星观测几何构型改善的边际效率减小，对参与定位计算卫星组合中最大定位误差的改善
也将减少.
200
山o
nu
3
50
150 40
~ 100
50
国30
0.. 20
10
0
0 2 3 2
10
。0.5 1.5 2 2.5
a: 不含扰动影响;b: 含扰动影响;C: 含扰动影响
圄5 每颗卫星的PIR 值分布
Fig. 5 Each satellite distribution of position
integrity risk value
表1 不同采样时刻每颗卫星的PIR 值
Tab. 1 Different position integrity risk value of each satellite in dfferent sampling times
采样
相应卫星的PIR 值
3 7 11 12 15 19 21 22
29 17.7 27.9 17.5 15.9 6. 75 52.5 66.2
30 4. 77 7.50 4.71 4.26 1. 81 14.1 11. 96
31 12.9 4.99 3.13 2.84 1. 21 9.38 7.95
第3 期
4 结
λ=58.52
APV-I
APV-II
表3
Tab.3
卫星数
非中心化参数λ
APV-I HIV
APV-II HIV
Z吾
杨传森，等:GPS RAIM 定位误差保护限值算法分析
表2 每颗卫星故障产生的总的定位误差
Tab. 2 Total positioning error of each satellite by fault
偏差加入相应卫星后总的最大定位误差1m
37 11 12 15 19 21
12.85 4.98 3. 13 2.84 1. 21 9.38 7.95
H =535 2 , V =43.28
H =27.7 , V =6.93
不同可视卫星数对应的λ 值及与航段定位告警限值对应的PIR 值
The value λcorresponding to the number of visible satellitωand position
integrity risk value corresponding ωalert limit in f1ight route
5 6 7
54. 76 58.52 62.57
5645/45.65 5282/42.72 4940/39.96
29.22/7.305 27.34/6.835 25.57/6.393
81
基于TLS 的PIR 算法对伪距观测模型进行了优化，既考虑了模型中数据矩阵的扰动，也考虑了观
测量的量测偏差扰动.根据实测数据，计算分析了两种算法对定位精度的影响，比较两者的优劣.结果表
明， TLS 法解算精度与可靠性要好于臼法.对于存在不可预知故障的RAIM 应用及提高定位解算的精
度与可靠性、进行完好性及时预警等有着重要意义.通过上述的数据仿真计算，可以看出制约卫星导航
系统RAIM 可用性的因素主要是定位精度和观测几何.
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(责任编校:朱夜明)